月が東から昇って西へ沈む理由は、太陽のそれと同様です。
月や太陽だけではなく、地球上で観測される天体はすべて東から西へ移動するのですが、これは地球の自転によって天体がこのように動いて見えるためです。

地球の自転によって天体が動いて見えるため、赤道付近と南極や北極では天体の動き方が大きく異なります。
赤道付近ではほぼ真東から昇り真西に沈みますが、極地ではほぼ真上を中心に天体がぐるぐる回るように動きます。極地では夏に太陽が月の地平線すれすれに動いて沈まない「白夜」という現象が現れます。このときには月も沈むことはありません。